In meinem letzten Blogpost habe ich davon geschrieben, dass die Menschen bereits früh das Zählen lernten und in der Praxis anwendeten, indem sie Striche auf Holzplatten oder in Steine ritzten. Die nächste Hürde die sie meistern mussten, bestand darin, den Zahlen Namen und spezielle Zeichen zu vergeben. Wir möchten ja unseren Mitmenschen die Zahlen auch mitteilen  können. Wir sagen zu dieser Zahl heute „Dreizehn“ und schreiben dafür „13“. Doch wie kommt man eigentlich darauf? Der erste Schritt wäre, sich für jede Zahl einen Namen auszudenken. Dazu müssen wir uns zuerst überlegen, wie weit wir zählen möchten. Bis 100? Bis 1000? Stell dir mal vor, du müsstest 1000 verschiedene Wörter lernen, um bis dorthin zählen zu können. Ziemlich ineffizient und zeitraubend, oder nicht? Ähnlich verhält es sich mit den Zeichen. Wir wollen ja nicht endlos viele Striche zeichnen, sondern Zeichen als Abkürzung für Zahlen verwenden. Und auch hier wollen wir nicht tausend verschiedene Zeichen lernen müssen. Daher überlegen wir uns Zeichen, die wir dann immer wieder verwenden, indem wir sie miteinander kombinieren. Als Beispiel zeige ich dir hier die Zahlzeichen aus dem Alten Ägypten: ∣  … steht für die Zahl 1. ∩  … steht für die Zahl 10 𓍢  … steht für die Zahl 100. Also steht diese Kombination  𓍤∣∣∣   für die Zahl 304. Man erkennt hier Ähnlichkeiten zum antiken römischen Zahlensystem. Aber gerade bei komplizierteren Zahlen wird dieses System zeitaufwändig. 𓍥𓍥𓍢∩∩∩∩∩∩∩∩∩∣∣∣∣∣∣∣∣∣  … das wäre die Zahl 999. Betrachten wir nun unser heutiges Zahlensystem. Ein Kind muss zuerst die Namen und Zeichen von 0 bis 9 lernen. 0 … Null 1 … Eins 2 … Zwei 3 … Drei 4 … Vier 5 … Fünf 6 … Sechs 7 … Sieben 8 … Acht 9 … Neun Das sind insgesamt nicht 9, sondern 10 verschiedene Wörter (zähl gerne nach 😀). Die Zehn ist jetzt ein neues Wort, das gelernt werden muss, doch als Zahlzeichen ist es eine Kombination der Zeichen Eins und Null. Und hier kommt das sogenannte Stellenwertsystem zum Tragen. Die Zahl 185 sind ein Hunderter + acht Zehner + fünf Einer. Die Bedeutung einer Ziffer ist also abhängig von ihrer Position. Grundvoraussetzung, damit dieses System funktioniert, ist die Zahl 0. Denn sie dient als Platzhalter, wenn etwa die Zehnerstelle nicht vorkommt. Wie würdest du sonst die Zahl 305 schreiben? Einfach einen Abstand machen?  3 5 … du siehst schon, das ist fehleranfällig. Wir gehen nun weiter. Die Zahl 13 ist eine Kombination aus den Wörtern Drei und Zehn. Dieses System funktioniert streng logisch bis auf 2 Ausnahmen: 11 und 12 müssten eigentlich „ Einszehn “ und „ Zweizehn “ heißen. Die beiden Wörter sind jedoch ein Überbleibsel aus dem Duodezimalsystem, als man noch mit einem Dutzend gerechnet hat. Eine weitere Ausnahme wäre die Zahl „ Zwanzig “, die eigentlich „ Zweizig “ heißen müsste. Über Dreißig (eigentlich Dreizig ) könnten wir noch diskutieren, doch ich nehm diese Zahl mal aus. Ab „ Vierzig “ geht es aber streng logisch weiter und das nächste Wort, welches Kinder lernen müssen, ist die „ Hundert “. Bis dahin haben wir 15 verschiedene Wörter. Ziemlich effizient, würde ich sagen. Ab jetzt gibt es aber keine Ausnahmen mehr. Das nächste Wort wäre „ Tausend “. Wir sind bei 16 Wörtern. Das heißt, wir können mit 16 verschiedenen Wörtern bis 999 999 zählen. Mit dem 17. Wort sind wir nun bei einer Million angelangt und haben nun die Antwort auf unsere Frage. Wobei wir mit 17 Wörtern sogar bis 999 999 999 zählen können. Einen Unterschied gibt es noch zwischen dem Deutschen und Englischen. 123 wäre im Englischen „ Onehundred-Twenty-Three “. Während wir dazu „ Einhundert-Dreiundzwanzig “ sagen. Wir sagen vor der Zehner die Einerstelle. Ein Engländer dagegen würde „ Einhundert-Zwanzig-Drei “ dazu sagen, was formal logischer und einfacher zu lernen wäre. Trotz dieser Ausnahmen ist unser Dezimalsystem ein extrem effizientes Zählsystem, welches uns erlaubt, beliebig große Zahlen hinzuschreiben, sie zu benennen und mit ihnen zu rechnen. PS: Für Mathe-Freaks. Das Stellenwertsystem zur Basis 10 (also unser Dezimalsystem) ist ja eine Exponentialfunktion zur Basis 10. Das heißt, mit jeder neuen Stelle kann ich 10-mal so viele Zahlen schreiben. Wir könnten aber auch die Anzahl der Zahlwörter betrachten und eine Exponentialfunktion daraus bilden. n    … Anzahl der Wörter. f(n) … Anzahl der Zahlen, die möglich sind. Aber Tausend wächst aber mit jedem neuen Wort die Anzahl der Zahlen um das Tausendfache. Das heißt, es wäre eine Exponentialfunktion zur Basis 1000!!! PPS: Sieh dir gerne dazu mein Video  auf meinem YouTube Kanal an.

Stell dir vor, ein 6-jähriges Kind stellt dir diese Frage. Was würdest du dem Kind sagen? Was für ne Frage? Du hast doch mindestens 9 Jahre Mathe-Unterricht hinter dir, tausende Aufgaben gerechnet und eine Vielzahl an Tests und Schularbeiten absolviert. Und doch fällt dir auf diese Frage nichts ein? Tatsächlich stelle ich diese Frage am Anfang meiner Mathe-Kurse den TeilnehmerInnen und bis dato konnte mir niemand erklären, was denn das eigentlich ist. Nicht anders ergeht es mir bei Mathematik-Nachhilfe Schülern, denen ich diese Frage stelle, die ja mittendrin sind im Geschehen. Könntest du erklären, was ein Fußballer macht? Wahrscheinlich schon. Könntest du beschreiben was ein Arzt macht und was Medizin ist? Da bin ich mir sicher. Warum ist das bei Mathematik denn so schwierig? Und diese „Warum-Frage“ ist viel wichtiger, als es zunächst den Anschein hat. Im Laufe meiner Jahre als Mathe Trainer und Nachhilfelehrer wurde mir immer wieder von Schülern und Schülerinnen diese Frage gestellt: „Robert, warum machen wir das? Wo braucht man das?“ Ich muss zugeben, dass ich dazu anfangs selbst kaum eine Antworte parat hatte. Und doch ist das Hinterfragen für das Verständnis von Mathematik absolut wichtig. Daher stelle ich mir selber die Frage: Wer hat’s erfunden und aus welchem Grund? Dazu gehen wir ganz ganz weit zurück an den Beginn der Sesshaftwerdung der Menschheit, also viele tausend Jahre zurück in die Vergangenheit. Lange Zeit, bevor die griechische oder ägyptische Hochkultur das Licht der Welt erblickte. Es ist der Übergang von Jäger und Sammler zur Ackerbaugesellschaft. Anstatt regelmäßig umherzuziehen, um täglich zu jagen, haben Menschen begonnen, Tiere zu halten und sie zu züchten. Dadurch konnten sie an einem Ort bleiben, Behausungen errichten, Pflanzen anbauen und Tiere züchten. Man minimierte so das Risiko an Hunger zu leiden und musste nicht mehr frieren (die Frage nach dem „Warum wurden sie eigentlich sesshaft?“). Stell dir vor, du bist in dieser Zeit ein Hirtenjunge, der frühmorgens die Behausung verlässt und mit ein paar Schafen eine nahegelegene Weide aufsucht. Am Morgen sagt dein Vater zu dir: „Pass gut auf, dass du wieder alle Schafe zurückbringst.“ Mit mulmigem Gefühl verlässt du das Dorf. Du weißt, dass Wölfe umherziehen und gerne ein Schaf reißen. Du weißt, dass Schafe manchmal tollpatschig sind, sich verletzen oder im schlimmsten Fall sich verlaufen. So möchtest du am Ende des Tages wieder alle Tiere heil zurückbringen und keinen Ärger bekommen. Doch eine wichtige Frage drängt sich hier auf: Wie viele Schafe sind es denn eigentlich? Wie bitte, das ist die Geburtsstunde der Mathematik? Wieso eigentlich nicht? Denn so in etwa kann man sich vorstellen, dass Menschen begonnen haben, Dinge (in dem Fall Tiere) zu zählen. Einfach aus Notwendigkeit und Wichtigkeit. Sind noch alle Schafe da? Wenn nicht, kann das im schlimmsten Fall eine Nahrungsknappheit zur Folge haben. Also doch sehr harte Konsequenzen. Doch wie zählt man eigentlich, wenn man noch nie etwas von Mathematik gehört hat? Eine einfache Methode wäre, in ein Holzstück etwas einzuritzen. Wir wissen aus archäologischen Funden, dass Menschen bereits früh begonnen haben, so zu zählen. Der Hirtenjunge macht also am Morgen für jedes Schaf einen Strich: Ich denke, genauso hättest du es auch gemacht, nicht wahr? Aber das, was du hier siehst, ist nicht nur bloßes Zählen, das ist schon ein Zählsystem. Warum? Weil du nach 4 Strichen einen Querstrich machst. Das ist nicht selbstverständlich. Aber es erleichtert uns das Zählen von größeren Zahlen. Wir sehen die Zahl schneller auf einen Blick und machen weniger Fehler beim Zählen. Dieser Gedanke durchdringt die gesamte Mathematik und alles, was wir dort machen. Es muss schnell gehen ➜   Zeitersparnis Das System hilft mir, wenig Fehler zu machen ➜   Fehlerminimierung . Wenn du bereits berufstätig bist, wird dir das nicht fremd sein. Jede Firma, die erfolgreich sein will, muss diese 2 Dinge erfüllen. Aber zurück zum Thema: Das Zählen und Entwickeln von Zahlen ist die Geburtsstunde der Mathematik. Aber wo sind diese Zahlen zu finden? Hast du schon mal die „ Vier “ irgendwo herumhüpfen sehen? Hier kommen wir zum nächsten wichtigen Punkt: Zahlen und eigentlich die gesamte Mathematik passieren nämlich in unserem Kopf. Wir stellen uns quasi die Zahlen nur vor. Unser Hirtenjunge verlagert das Problem mit der Anzahl der Schafe in seinen Kopf und merkt sich einfach elf Striche. Das ist das eigentlich Schwierige in dem Fach: Mathematik passiert ausschließlich in unseren Gedanken. Es sind Vorstellungen von Zahlen. Das meint man übrigens mit „ Abstrahieren “. Es wäre die Vereinfachung. Anstatt ein Bild von 11 Schafen mit dem Pinsel zu malen (ich bräuchte dafür ewig), schreibe ich 11 Striche auf und bin so viel schneller und mache weniger Fehler. Wenn dir dein(e) Lehrer(in) nun etwas im Mathe Unterricht erklärt, hat er/sie Bilder im Kopf, die du vielleicht noch nicht hast. Deshalb fällt es SchülerInnen oft schwer, hier zu folgen. Der einfachste Weg dir diese Bilder zu erarbeiten, ist selbstständig Beispiele zu rechnen. Ich weiß, das hören auch meine Kursteilnehmer nur sehr ungern. Doch auch Fußball spielen lernst du am besten in dem du's einfach tust und nicht, wenn dir jemand die Regeln erklärt. Auf diesem Prinzip beruht die Idee meiner Mathe-Kurse [ 4.Klasse ] [ Grundkurs ], wo genügend Beispiele zum selber rechnen zur Verfügung stehen. Zusammengefasst heißt das: Mathematik passiert in meinem Kopf, indem ich mir Zahlen vorstelle ( Abstrahieren ). Ich entwickle ein System, welches mir hilft, das Zählen zu beschleunigen ( Zeitersparnis ) und möglichst wenig Fehler zu machen ( Fehlerminimierung ). PS: Selbstverständlich ist das nicht vollständig. Es gibt noch viele weitere Gebiete und viele spannende Geschichten dazu zu erzählen. Mehr dazu in weiteren Artikeln. Doch angefangen hat der ganze Spaß mit dem Zählen und der Notwendigkeit, sich eine gewisse Anzahl zu merken. PPS: Sieh dir gerne dazu mein Video auf meinem YouTube Kanal an.